FRAGMENTOS DE LIBROS:   LA PROPORCIÓN ÁUREA (2012)

                                               El lenguaje matemático de la belleza

LaProporciónAurea

  

     Fernando Corbalán      (España)  

    

        Editorial:  RBA Contenidos Editoriales y Audiovisuales, S.A (2012)

        Colección: El mundo es matemático.

    

 

 

 Comienzos de libros

 

     Capítulo 1

 

  El número de oro

 

«Los sentidos se deleitan con las cosas que tienen las proporciones correctas.»

Santo Tomás de Aquino (1225-1274)

  

    ¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposición de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea? ¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Salvador Dalí? Aunque parezca increíble, la respuesta a estos dos interrogantes es un simple número; una cifra de apariencia humilde, conocida desde la Antigüedad, cuya continua aparición en toda clase de manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como «divina proporción», «número de oro» o «proporción áurea». Reproducir esa cifra en letra impresa resultaría literalmente imposible, y no porque sea excesivamente grande -de hecho, es apenas mayor que 1-, sino porque está compuesta por un número infinito de dígitos que, además, no siguen pauta alguna. Descartada su reproducción literal, podemos ayudarnos de la notación aritmética para conocerla. El número de oro se torna así algo mucho más manejable: 

FormulaPhi

     Más adelante, en este mismo capítulo, veremos cómo llegar a esta expresión, pero hay que reconocer que, al menos a primera vista, la «divina proporción» resulta poco impresionante. Un ojo entrenado, sin embargo, sabría que hay gato encerrado sólo con ver la raíz de cinco. En efecto, esta raíz presenta una serie de propiedades que le merecieron, a ella y a otras similares, el poco amable apelativo de «irracionales»,-una clase especial de números de, los que también hablaremos detenidamente.

Vamos a intentar otra aproximación al número de oro, esta vez geométrica, en la búsqueda de su supuesto carácter divino. Para ello, dibujamos un rectángulo cuyo lado más largo es el resultado de multiplicar el corto por 1,618; es decir, un rectángulo la proporción de cuyos lados es el número de oro (en este caso, un valor muy próximo). Si lo hacemos correctamente, nos tiene que resultar algo parecido a lo siguiente:  

Rectángulo

     Un rectángulo de estas características recibe el nombre de áureo. En primera instancia puede parecemos un rectángulo de lo más convencional. Hagamos, sin embargo, un sencillo experimento con dos tarjetas de crédito cualquiera. Si disponemos una de ellas de forma horizontal y la otra vertical y las alineamos por sus bases, se observará lo siguiente: 

Tarjetas

 

    En efecto, al trazar la diagonal de la tarjeta horizontal y prolongarla, podremos comprobar con creciente admiración que coincide exactamente con el vértice superior derecho de la tarjeta vertical. Si hacemos la prueba con dos libros de un mismo tamaño, en especial libros técnicos o ediciones de bolsillo, es muy probable que demos con el mismo resultado. Esta propiedad es exclusiva de los rectángulos áureos del mismo tamaño, de lo que se deduce que muchos objetos cotidianos de forma rectangular se han diseñado con la divina proporción en mente. ¿Casualidad? Tal vez. O quizás resulta que los rectángulos y demás formas geométricas que guardan esta proporción son, por alguna razón, especialmente agradables a la vista. Si apostamos por esta última posibilidad, nos encontraremos en compañía de nombres ilustres de la pintura y la arquitectura de todas las épocas, como se verá en más detalle en el capítulo 4. No es ninguna coincidencia que la denominación moderna del número de oro, la letra griega phi (Φ)  sea también la inicial del arquitecto clásico por antonomasia, el legendario Fidias.

 

    Un mundo áureo

    Mucho se ha escrito sobre el misterio que oculta la sonrisa más célebre de la historia del arte, pero además se puede aventurar una solución geométrica al enigma. Veamos qué ocurre si superponemos varios rectángulos áureos sobre el rostro de la bella Gioconda:

gioconda2

   ¿Tenía en mente Leonardo la proporción áurea a la hora de realizar su obra maestra? Afirmarlo resultaría aventurado. Menos polémico es aseverar que el genio florentino concedía gran importancia a la relación entre la estética y la matemática. Dejaremos la cuestión en el aire por el momento, no sin antes mencionar que Leonardo realizó las ilustraciones de una obra de contenido estrictamente matemático, escrita por su buen amigo Luca Pacioli, llamada De divina proportione, es  decir, «la divina proporción»

   Leonardo no es, desde luego, el único artista en cuya obra se deja ver la razón áurea y sus distintas manifestaciones, ya sea como razón entre los lados de un rectángulo o en formas geométricas de mayor complejidad. Numerosos pintores posteriores han recurrido a estos fundamentos teóricos, como por ejemplo el neoimpresionista Georges Seurat o el prerrafaelita Edward Burne-Jones. Por su parte, Salvador Dalí realizó con su lienzo dedicado a La última cena una obra extraordinaria, en la que la divina proporción posee gran protagonismo. No sólo es el lienzo, de 268 por 167 cm., un rectángulo áureo casi perfecto, sino que, presidiendo la sagrada escena, se alza un monumental dodecaedro. Y es que los sólidos regulares que, como éste, quedan perfectamente inscritos en una esfera, están íntimamente relacionados con el número de oro, como veremos en el tercer capítulo.

ElLienzo

 El lienzo Une baignade á Asniéres (1884) de Georges Seurat es un recuadro áureo. Algunos elementos que lo forman también están insertos en recuadros áureos, tal y como muestran las líneas sobrepuestas

 Acerquémonos ahora a la reina de las artes aplicadas, la arquitectura. Si es cierto que la proporción áurea encierra una noción de armonía de valor universal, deberíamos encontrarla también en los trazos geométricos que subyacen en edificios y construcciones. ¿Es así? Otra vez resulta arriesgado afirmarlo con rotundidad. Como una dama coqueta que gustara de hurtar sus encantos, la razón áurea anuncia su presencia en muchas grandes obras arquitectónicas de todas las épocas, como la Gran Pirámide o algunas de las mas notables catedrales góticas francesas, sin revelarse de un modo concluyente. Sin embargo, resulta difícil mantenerse escéptico cuando se examina con detalle la fachada de la obra maestra de Fidias, el Partenón, y se descubre con asombro que sus diversos elementos pueden descomponerse limpiamente en rectángulos áureos.

Partenon

 

 

 El secreto de las rosas

    El valor del número de oro como patrón ideal de belleza no es únicamente una veleidad humana. La naturaleza misma parece otorgar a Φ un papel especial a la hora de «escoger» ciertas formas por encima de otras, aunque para percatarse de ello se debe profundizar algo más en las propiedades del número de oro. Tomemos a nuestro ya conocido rectángulo áureo y, partiendo de él, restemos un cuadrado de longitud igual al lado corto de aquél. En este proceso conseguiremos un nuevo rectángulo áureo, de tamaño obviamente menor. Si repetimos el proceso varias veces obtendremos la figura siguiente:

Rectangulo2

      Vamos ahora a trazar distintos cuadrantes de circunferencia de un radio igual al lado de cada uno de los cuadrados que hemos ido quitando, y con el centro en el vértice de cada uno de ellos. El dibujo resultante nos quedará como sigue:

Rectangulo3

   Esta curva sinuosa, de gran elegancia, se denomina espiral logarítmica. Lejos de ser una mera curiosidad matemática, se puede observar muy fácilmente en nuestro entorno, en un recorrido vertiginoso que va de la concha del nautilus...

NautilusEspiral

... a la forma de las galaxias...

GalaxiasEspiral

... y de regreso a la naturaleza en tierra firme, a la elegancia sin par de la disposición de los pétalos de una rosa:

RosaEspiral

    Acompañados de la reina de las flores, nos internamos en otro ámbito donde la proporción áurea es emperatriz suprema: el reino vegetal. Su presencia allí es sutil y requiere introducir un nuevo concepto matemático: la sucesión de Fibonacci. Dicha serie numérica, descrita por este matemático italiano del siglo XIII, arranca con los valores 1 y 1, a partir de los cuales cada nuevo término se genera con la suma de los dos anteriores. Los quince primeros números de esta serie infinita son los siguientes:

 

        1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

 

El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a Φ a medida que avanzamos a lo largo de la serie. Comprobémoslo:

        1/1      =    1

        2/1     =    2 

        3/2     = 1,5 

        5/3     = 1,666...

       8/5      = 1,6

       13/8     = 1,625 

       21/13    = 1,615348...

       34/21    = 1,61904

       55/34   = 1,61764 

       89/55   = 1,61818 

      144/89  = 1,61798

       Φ      =    1,6180339887...

     Cuando se alcanza el término cuadragésimo de la sucesión, el cociente se aproxima al número de oro con una precisión de 14 decimales. Las relaciones entre la sección áurea y la sucesión de Fibonacci son múltiples e insospechadas y se exploran con más detalle más adelante; baste apuntar en esta introducción las asombrosas correspondencias entre el reino abstracto de los números y la realidad palpable, el sueño pitagórico convertido en realidad en un escenario de excepción.

  Para ello, nos serviremos de dos flores de apariencia dispar. En primer lugar, observemos la siguiente flor del girasol, cuajada de pepitas:


Girasol. Disposición de las pepitas en espiral.    Disposición en términos sucesivos de la serie de Fibonacci.

 

Al poco nos daremos cuenta de que las pepitas dibujan espirales concéntricas en sentidos horario y antihorario. Si se cuentan unas y otras, resultan dos números en apariencia anodinos: 21 y 34... Dos números que ya hemos visto antes.

  Efectivamente, se trata de dos términos sucesivos de la serie de Fibonacci. Si hiciéramos el mismo ejercicio para el caso de otras flores de girasol, es muy probable que el resultado fuera el mismo o, en su lugar, otro par de términos sucesivos de la misma serie, en especial 55 y 89. La presencia de la proporción áurea en plantas y árboles no se agota con este ejemplo, sino que abarca la disposición de las ramas de algunos árboles, el número de los pétalos de muchas flores, e incluso la forma de las hojas. Buena parte del quinto capítulo está destinado a explorar esta mágica imbricación de número y forma, abstracción y realidad.

 

Irracionales y series numéricas; Fidias y Leonardo; rosas y girasoles. Un auténtico mundo áureo cuyo examen pormenorizado iniciamos en su origen: el número Φ

...

 

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